Selamat Hari Pi! Tanggal 14 Maret adalah tanggal di mana orang-orang rasional merayakan bilangan irasional ini, karena 14/3 berisi tiga digit pertama pi. Dan hei, pi layak mendapat satu hari. Berdasarkan definisinya, ini adalah rasio keliling dan diameter lingkaran, namun muncul di berbagai tempat yang tampaknya tidak ada hubungannya dengan lingkaran, mulai dari musik hingga mekanika kuantum.
Pi adalah bilangan desimal yang panjangnya tak terhingga dan tidak pernah berulang. Bagaimana kita tahu? Ya, manusia telah menghitungnya hingga 314 triliun desimal dan tidak mencapai akhir. Pada saat itu, saya cenderung menerimanya. Maksud saya, NASA hanya menggunakan 15 tempat desimal pertama untuk menavigasi pesawat ruang angkasa, dan itu lebih dari cukup untuk aplikasi di bumi.
Hal yang paling keren, bagi saya, adalah ada banyak cara untuk memperkirakan nilai tersebut, yang telah saya tulis sebelumnya. Misalnya, Anda dapat melakukannya dengan menggetarkan suatu massa pada pegas. Namun mungkin cara paling gila dari semuanya dibuktikan pada tahun 1777 oleh George Louis Leclerc, Comte de Buffon.
Beberapa dekade sebelumnya, Buffon mengajukan pertanyaan ini sebagai pertanyaan probabilitas dalam geometri: Bayangkan Anda mempunyai sebuah lantai dengan garis sejajar yang dipisahkan oleh jarak. D. Ke lantai ini, Anda menjatuhkan seikat jarum yang panjangnya L. Berapa peluang terambilnya jarum melewati salah satu garis sejajar?
Sebuah gambar akan membantu Anda memahami apa yang terjadi. Katakanlah saya menjatuhkan dua jarum saja ke lantai (jangan ragu untuk mengganti jarum tersebut dengan yang lebih aman, seperti tusuk gigi). Selain itu, untuk mempermudahnya nanti, kita dapat mengatakan bahwa panjang jarum dan jarak garis adalah sama (d = L).
Anda dapat melihat bahwa salah satu jarum melewati garis dan yang lainnya tidak. Oke, tapi apa peluangnya? Ini bukanlah masalah yang paling sepele, tapi mari kita pikirkan satu jarum saja yang terjatuh. Kami hanya peduli pada dua nilai—jarak (X) dari ujung jarum ke garis, dan sudut jarum (Saya) terhadap garis tegak lurus (lihat diagram di bawah). Jika X kurang dari setengah jarak antar garis, kita mendapatkan persilangan jarum. Seperti yang Anda lihat, Anda akan mendapatkan probabilitas yang lebih tinggi dengan probabilitas yang lebih kecil X atau lebih kecil Saya.
Faktanya, berikut adalah plot yang menunjukkan sekumpulan hal yang acak X Dan Saya nilai-nilai. Titik-titik merah adalah nilai-nilai yang menghasilkan persilangan jarum dan titik-titik biru adalah nilai-nilai yang tidak menghasilkan persilangan. Garis hijau adalah fungsinya (d/2) x cos(θ)—transisi antara penyeberangan dan tidak penyeberangan.
Rasio luas daerah di bawah kurva terhadap luas total adalah probabilitas perpotongan jarum. Kita dapat mencari luas di bawah kurva dengan melakukan integrasi. Jika Anda menghitungnya, Anda mendapatkan probabilitas 2/hal untuk kasus dimana panjang jarum sama dengan jarak garis. Itu pi kami! Alasannya masuk ke sana adalah karena sudut jarum berubah dari negatif hal/2 menjadi positif hal/2 (dua perempat lingkaran). Mungkin Anda tidak terkejut setelah melihat fungsi kosinus tersebut.
Tapi Anda tidak perlu melakukan kalkulus apa pun. Sebagai gantinya, jatuhkan saja seikat jarum, hitung jumlah persilangan, dan bagi dengan jumlah total jarum. Rasio ini harus mendekati kemungkinan persilangan (2/hal). Kita dapat menggunakan ini untuk mencari nilai pi. Beberapa orang bodoh benar-benar menjatuhkan jarum ke lantai, tapi saya hanya akan melakukan simulasi angka acak dengan Python. Berikut tampilannya dengan 100 jarum:
Dalam simulasi ini, 66 dari 100 jarum melewati sebuah garis (Anda dapat menghitungnya). Dengan menggunakan angka ini, kita mendapatkan nilai pi sebesar 3,0303—yang sebenarnya bukan 3,14—tetapi nilai tersebut tidak terlalu buruk untuk 100 jarum saja. Dengan 30.000 jarum, Anda mungkin bisa akurat hingga enam angka desimal.
Perhitungan Monte Carlo
Ide menggunakan bilangan acak untuk menyimulasikan sesuatu cukup berguna, terutama ketika perhitungan matematikanya sangat rumit atau bahkan mustahil. Metode ini ditemukan selama Proyek Manhattan pada tahun 1946 untuk memodelkan reaksi nuklir, dan ini disebut perhitungan Monte Carlo, diambil dari nama kasino terkenal di sana. (Jika dibuat hari ini, ini mungkin disebut perhitungan Vegas.)
Tentu saja, teknik ini tidak terlalu berguna sampai Anda mulai menggunakan komputer, sehingga Anda dapat menjalankan banyak sekali uji coba. Misalnya, Anda ingin memodelkan gas sebagai sekumpulan bola yang bertabrakan dengan dinding wadah. Itu mungkin saja gunakan sejumlah besar bola acak yang sedang bergerak untuk menghitung tekanan rata-rata pada dinding.
Kenapa aku memberitahumu ini? Ya, itu adalah simulasi Monte Carlo yang saya lakukan di komputer saya untuk memperkirakan pi, meskipun saya hanya menjalankan 100 percobaan. Namun bahkan jika saya menjatuhkan jarum fisik ke seluruh lantai, itu tetap merupakan perkiraan Monte Carlo—atau mungkin kebalikan dari Monte Carlo—karena posisi jarum yang dijatuhkan cukup acak. Itu benar. Jarum Buffon hanyalah metode abad ke-18 untuk menghasilkan angka acak dalam kehidupan nyata!
